Convexity, Fixed Point Theorems and Walrasian Equilibrium

Abstract

In this thesis, I will deal with an application of fixed-point theorem of set valued map [Let X and Y be two subsets of Rⁿ: A set-valued map F from X to Y, is a map that associates with any x є X a subset F(x) of Y, A fixed point x for F exists if x є F(x) ], and convexity to prove the existence of Walrasian Equilibrium under sufficient conditions for both pure exchange economy and private ownership economy.

Then I will show how to modify these theorems in more general cases under uncertainty and externalities.نوقش خلال هذه الأطروحة مبدآن هامان في الاقتصاد، الأول: مبدأ التوازن العام، أي أن العرض على كل البضائع يكون مساويا للطلب عليها، والثاني: هو أن المستهلك يسعى اقتصاديا للوصول إلى ما هو أفضل بالنسبة له، ضمن أسعار السلع في السوق والثروة التي يمتلكها، والشركات تسعى لتحقيق أقصى ربح.

وقد صيغت هذه المبادئ رياضيا لربط هذه المفاهيم الاقتصادية، ونظريات هامة في الرياضيات، حيث نبين كيفية استخدام نظريات النقطة الثابتة للاقترانات المتصلة (Set Banach separation Theorem) لاثبات أن نقطة التوازن هذه هي الأفضل بالنسبة للأفراد والشركات.

خلال هذه الأطروحة طبقت هذه المبادئ على نوعين من التعامل الاقتصادي، الأول: في حالة (The Pure Exchange Economy) أي تداول السلع في السوق، أما الثاني: فهو اقتصاد الملكية الخاصة للأفراد ( The Private Ownership Economy)، وقد تعرضنا بشكل ثانوي إلى التدخلات الخارجية، (The externality)، وتأثيرها على التوازن العام.