Analytical and Numerical Aspects of Wavelets
Date
2015
Authors
Noora Hazem Janem
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Almost every physical phenomenon can be described via a waveform –a function of time, space or some other variables, in particular, sound waves. The Fourier transform gives us a unique and powerful way of viewing these waveforms.
Nowadays, wavelet transformation is one of the most popular candidates of the time-frequency-transformations. There are three types of wavelet transforms, namely: continuous, discrete and fast wavelet transforms.
In this work we will study Fourier transform together with its properties and present the connections between Fourier transform and wavelet transform. Moreover, we will show how the Wavelet-Galerkin method can be used to solve ordinary differential equations and partial differential equations. For the applications of wavelet transform we will consider two applications; first signal decomposition and reconstruction: in this section we use two filters to decompose a signal using the wavelet decomposition algorithm and then we use similar process to rebuild the original signal using the wavelet reconstruction algorithm. A second application is the audio fingerprint. Assume we have an audio. We read this audio and then convert it into signals. These signals are then divided into a number of frames. Next, we decompose each frame of this audio signal into five layer wavelets. Finally we use the wavelet coefficients to compute the variance, zero crossing, energy and centroid.
تحويل فورييه (Fourier Transfrom) هو طريقة من أجل تمثيل الإشارات الدورية باستخدام سلسلة من اقترانات الجيب و جيب التمام تم تطويرها من أجل أي إشارة حتى لو لم تكن دورية بإنهاء دورها إلى اللانهاية حيث يقوم التحويل بنقل الإشارة من مجال الزمن إلى مجال التردد وبالعكس. ثم استخدم ما يعرف بالنافذة ثابتة العرض، من خلال تمثيل الإشارة زمنيا وتردديا على حساب دقتها الزمنية والترددية، بيد أنه عند استخدام نافذة صغيرة يتم الحصول على دقة عالية من أجل العناصر التي تتغير بسرعة، بينما لا تكون هذه الدقة عالية للعناصر المتغيرة ببطء، ولذلك تم تطوير ما يعرف بتحويل المويجات. تحويل المويجات (Wavelet Transform) هو تطوير لتحويل فورييه؛ إذ إنه يستخدم نافذة متغيرة العرض بدلا من استخدام نافذة ثابتة العرض، إذ يتم تغيير عرض النافذة للحصول على المعلومات مختلفة التردد على طول الموجة لإنتاج ما يعرف بالمويجات التي يختلف ترددها حسب عرض النافذة المستخدمة. تقوم النافذة الصغيرة بإنتاج مويجة مضغوطة تتضمن العناصر ذات التردد المرتفع والتي تعرف بالعوامل التفصيلية. وتقوم النافذة الكبيرة بإنتاج مويجة ممددة تتضمن العناصر ذات التردد المنخفض والتي تعرف بالعوامل التقريبية. يمكن تعريف المويجة على أنها إشارة محدودة الطول الزمني وتمتلك قيمة متوسطة تساوي الصفر. إن أحد التطبيقات الأساسية التي يتم إجراؤها على الإشارة بعد تحليلها عن طريق تحويل المويجات هو إزالة الضجيج الموجود في تلك الإشارة. هناك نوعان رئيسيان من تحويل المويجات :تحويل المويجات المستمر و تحويل المويجات المتقطع. عن طريق استخدام المويجات تم حل المعادلات التفاضلية.
تحويل فورييه (Fourier Transfrom) هو طريقة من أجل تمثيل الإشارات الدورية باستخدام سلسلة من اقترانات الجيب و جيب التمام تم تطويرها من أجل أي إشارة حتى لو لم تكن دورية بإنهاء دورها إلى اللانهاية حيث يقوم التحويل بنقل الإشارة من مجال الزمن إلى مجال التردد وبالعكس. ثم استخدم ما يعرف بالنافذة ثابتة العرض، من خلال تمثيل الإشارة زمنيا وتردديا على حساب دقتها الزمنية والترددية، بيد أنه عند استخدام نافذة صغيرة يتم الحصول على دقة عالية من أجل العناصر التي تتغير بسرعة، بينما لا تكون هذه الدقة عالية للعناصر المتغيرة ببطء، ولذلك تم تطوير ما يعرف بتحويل المويجات. تحويل المويجات (Wavelet Transform) هو تطوير لتحويل فورييه؛ إذ إنه يستخدم نافذة متغيرة العرض بدلا من استخدام نافذة ثابتة العرض، إذ يتم تغيير عرض النافذة للحصول على المعلومات مختلفة التردد على طول الموجة لإنتاج ما يعرف بالمويجات التي يختلف ترددها حسب عرض النافذة المستخدمة. تقوم النافذة الصغيرة بإنتاج مويجة مضغوطة تتضمن العناصر ذات التردد المرتفع والتي تعرف بالعوامل التفصيلية. وتقوم النافذة الكبيرة بإنتاج مويجة ممددة تتضمن العناصر ذات التردد المنخفض والتي تعرف بالعوامل التقريبية. يمكن تعريف المويجة على أنها إشارة محدودة الطول الزمني وتمتلك قيمة متوسطة تساوي الصفر. إن أحد التطبيقات الأساسية التي يتم إجراؤها على الإشارة بعد تحليلها عن طريق تحويل المويجات هو إزالة الضجيج الموجود في تلك الإشارة. هناك نوعان رئيسيان من تحويل المويجات :تحويل المويجات المستمر و تحويل المويجات المتقطع. عن طريق استخدام المويجات تم حل المعادلات التفاضلية.