Numerical Methods for Solving High-Order Boundary Value Problems
Loading...
Date
2009
Authors
Basmah Othman Al Azzah
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
The Boundary Value-Problems (BVPs) either the linear or nonlinear problems have many life and scientific applications. Many studies concerned with solving second-order boundary-value problems using several numerical methods, and few studies concerned with especial cases of higher order boundary-value problems using several numerical methods to solve them. But However, in our thesis we concerned with the finite-difference methods for solving general high-order linear boundary-value problems (from order three up to order seven), modifying, and developing some finite-difference methods for solving especial eighth-order nonlinear boundary value problems to enable them solve any even-order problem beyond it.
The main steps in this thesis depended on: -Using special finite-difference approximations for derivatives and formatting a formula that can be deal with endpoints that exceed the usual finite-difference formula for derivatives-Constructing linear system and solved it using the LU-decomposition method to decrease the computational processes.
-Using The Richardson's Extrapolation method to get more accurate results.
The numerical results for methods that appear in this thesis are good, but the errors in the methods increase when the order of the boundary-value problems becomes higher i.e. the fifth-order problem needs all derivatives , so by using approximations many times the errors will increase.
Also the method accuracy depends on the boundary conditions values, that method has large error when are not given nor one of them, as well as the changes on the order of boundary conditions values. Besides that, this method requires long computing time and hard work while using very large equations that increase while the problem order increases.
المعادلات التفاضلية الحدودية واسعة الاستخدام في مجالات متعدد في الحياة و في الدراسات العلمية، ولقد عملت دراسات كثيرة بمناقشتها وعرض طرقا متعددة لحلها و ذاك بشكل خاص لدرجة الثانية منها مع وجود بعض الدراسات و الطرق التي ناقشت أنواع خاصة بدرجات أعلى من هذه المشكلات. أما في أطروحتنا هذه فقد قمنا بـِ: 1-دراسة و حل معادلات حدية خطية ذات درجات عليا من الدرجة الثالثة و حتى السابعة و ذلك بشكلها العام و استخدمنا طريقة الفروق الدقيقة للتوصل إلى نظام من المعادلات خطية بسيطة. 2-حل النظام بطريقة(LU-decomposition) لتقليل العمليات الحسابية. 3-رفعنا درجة الدقة للطريقة و ذلك من خلال استخدام طريقة (Richardson's Extrapolation Method) للحصول على نتائج أكثر دقة دون الحاجة لتقليل طول الفترات الجزئية في المسألة. 4-دراسة معادلة تفاضلية حدية غير خطية خاصة من الدرجة الثامنة و طرق حلها. 5-تطوير بعض الطرق العددية لتكون قادرة على حل أي معادلة تفاضلية غير خطية من نفس النوع لأي درجة زوجية أقل من ثمانية و ذلك من خلال تصميم برنامج حاسبي بلغة (MATLAB 7.0) للتعامل و الحصول على معاملات نظام حل هذه المعادلات. و لقد أوضحت الدراسة أن: - هذه الطريقة المتبعة في البحث تعطي نتائج جيدة. -الخطأ يزداد عندما تكون درجة المعادلة عالية لاسيما أنها تعتمد على جميع المشتقات التي تسبقها فمثلا المعادلة التفاضلية الخامسة تعتمد على المشتقة الأولى حتى الرابعة مما يجعل خطأ التقريب متراكما. - هذه الطريقة تعتمد على القيم الحدية المعطاة فعند غياب القيمة الحدية الابتدائية لطرفي الفترة يصبح الخطأ أعلى.- نوع القيمة الحدية المعطاة في المسألة يؤثر على دقة الحل و الخطأ. فيما إما إذا كانت القيمة الحدية عند مشتقة زوجية، فردية، قريبة أو بعيدة. -حل درجات عليا من المعادلات التفاضلية بهذه الطريقة يحتاج إلى معادلات طويلة تزداد بازدياد الدرجة وإلى جهد وحسابات مطولة يصعب عملها لمرات متكررة إلا باستخدام طرق خاصة على الحاسب.
المعادلات التفاضلية الحدودية واسعة الاستخدام في مجالات متعدد في الحياة و في الدراسات العلمية، ولقد عملت دراسات كثيرة بمناقشتها وعرض طرقا متعددة لحلها و ذاك بشكل خاص لدرجة الثانية منها مع وجود بعض الدراسات و الطرق التي ناقشت أنواع خاصة بدرجات أعلى من هذه المشكلات. أما في أطروحتنا هذه فقد قمنا بـِ: 1-دراسة و حل معادلات حدية خطية ذات درجات عليا من الدرجة الثالثة و حتى السابعة و ذلك بشكلها العام و استخدمنا طريقة الفروق الدقيقة للتوصل إلى نظام من المعادلات خطية بسيطة. 2-حل النظام بطريقة(LU-decomposition) لتقليل العمليات الحسابية. 3-رفعنا درجة الدقة للطريقة و ذلك من خلال استخدام طريقة (Richardson's Extrapolation Method) للحصول على نتائج أكثر دقة دون الحاجة لتقليل طول الفترات الجزئية في المسألة. 4-دراسة معادلة تفاضلية حدية غير خطية خاصة من الدرجة الثامنة و طرق حلها. 5-تطوير بعض الطرق العددية لتكون قادرة على حل أي معادلة تفاضلية غير خطية من نفس النوع لأي درجة زوجية أقل من ثمانية و ذلك من خلال تصميم برنامج حاسبي بلغة (MATLAB 7.0) للتعامل و الحصول على معاملات نظام حل هذه المعادلات. و لقد أوضحت الدراسة أن: - هذه الطريقة المتبعة في البحث تعطي نتائج جيدة. -الخطأ يزداد عندما تكون درجة المعادلة عالية لاسيما أنها تعتمد على جميع المشتقات التي تسبقها فمثلا المعادلة التفاضلية الخامسة تعتمد على المشتقة الأولى حتى الرابعة مما يجعل خطأ التقريب متراكما. - هذه الطريقة تعتمد على القيم الحدية المعطاة فعند غياب القيمة الحدية الابتدائية لطرفي الفترة يصبح الخطأ أعلى.- نوع القيمة الحدية المعطاة في المسألة يؤثر على دقة الحل و الخطأ. فيما إما إذا كانت القيمة الحدية عند مشتقة زوجية، فردية، قريبة أو بعيدة. -حل درجات عليا من المعادلات التفاضلية بهذه الطريقة يحتاج إلى معادلات طويلة تزداد بازدياد الدرجة وإلى جهد وحسابات مطولة يصعب عملها لمرات متكررة إلا باستخدام طرق خاصة على الحاسب.