Finite Difference and Finite Element Methods for Solving Elliptic Partial Differential Equations
Date
2016
Authors
Malik Fehmi Ahmed Abu Al-Rob
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Elliptic partial differential equations appear frequently in various fields of science and engineering. These involve equilibrium problems and steady state phenomena. The most common examples of such equations are the Poisson's and Laplace equations. These equations are classified as second order linear partial differential equations.
Most of these physical problems are very hard to solve analytically, instead, they can be solved numerically using computational methods.
In this thesis, boundary value problems involving Poisson's and Laplace equations with different types of boundary conditions will be solved numerically using the finite difference method (FDM) and the finite element method (FEM).
The discretizing procedure transforms the boundary value problem into a linear system of n algebraic equations. Some iterative techniques, namely: the Jacobi, the Gauss-Seidel, Successive over Relaxation (SOR), and the Conjugate Gradient method will be used to solve such linear system. Numerical results show that the finite difference method is more efficient than the finite element method for regular domains, whereas the finite element method is more accurate for complex and irregular domains. Moreover, we observe that the SOR iterative technique gives the most efficient results among the other iterative schemes.
كثيراً من الظواهر الفيزيائية والهندسية الطبيعية لا تظهر إلا على شكل أنظمة رياضية وتحديداً تظهر كمعادلات تفاضلية جزئية تصف طبيعة هذه الظواهر. في هذه الرسالة, استخدمنا المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية الناقصة من الرتبة الثانية بحيث تم التركيز على معادلة بواسون ومعادلة لابلاس في البعد الثاني كنموذج لوصف تلك الظواهر. باستخدام طريقة الفروق المحدودة والعناصر المحدودة لتقريب حل تلك المعادلات يتم تحويل المعادلة الى شكل اخر بحيث يتم الحصول في النهاية على نظام خطي من المعادلات يمكن حله باستخدام طرق تكرارية مثل: Jacobi method, Gauss-Seidel method, Successive over Relaxation (SOR) method and Conjugate Gradient method. وجدنا من خلال هذا البحث أن طريقة الفروق المحدودة أفضل من طريقة العناصر المحدودة للحصول على حل مُقربْ للمعادلة وبأقل خطأ ممكن في حالة كون المجال (منطقة الحل) لمعادلة لابلاس أو لمعادلة بواسون ذات أشكال هندسية منتظمة (مثلث, مستطيل, ...). ولحل النظام الخطي الناتج من تجزئة معادلة لابلاس أو معادلة بواسون ، وجدنا أن طريقة SOR هي أفضل طريقة تكرارية من بين الطرق التكرارية الأخرى للحصول على حل مُقربْ للحل الدقيق والتي تعطي أقل خطأ ممكن.
كثيراً من الظواهر الفيزيائية والهندسية الطبيعية لا تظهر إلا على شكل أنظمة رياضية وتحديداً تظهر كمعادلات تفاضلية جزئية تصف طبيعة هذه الظواهر. في هذه الرسالة, استخدمنا المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية الناقصة من الرتبة الثانية بحيث تم التركيز على معادلة بواسون ومعادلة لابلاس في البعد الثاني كنموذج لوصف تلك الظواهر. باستخدام طريقة الفروق المحدودة والعناصر المحدودة لتقريب حل تلك المعادلات يتم تحويل المعادلة الى شكل اخر بحيث يتم الحصول في النهاية على نظام خطي من المعادلات يمكن حله باستخدام طرق تكرارية مثل: Jacobi method, Gauss-Seidel method, Successive over Relaxation (SOR) method and Conjugate Gradient method. وجدنا من خلال هذا البحث أن طريقة الفروق المحدودة أفضل من طريقة العناصر المحدودة للحصول على حل مُقربْ للمعادلة وبأقل خطأ ممكن في حالة كون المجال (منطقة الحل) لمعادلة لابلاس أو لمعادلة بواسون ذات أشكال هندسية منتظمة (مثلث, مستطيل, ...). ولحل النظام الخطي الناتج من تجزئة معادلة لابلاس أو معادلة بواسون ، وجدنا أن طريقة SOR هي أفضل طريقة تكرارية من بين الطرق التكرارية الأخرى للحصول على حل مُقربْ للحل الدقيق والتي تعطي أقل خطأ ممكن.